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Eine Matrix $ {C \in \mathbb{R}^{m\times m}} $ heißt ähnlich zu $ {A \in \mathbb{R}^{m\times m}} $, wenn es eine invertierbare Matrix $ {B \in \mathbb{R}^{m\times m}} $ gibt, so dass $ {C = B^{-1}AB} $ gilt.

Eigenschaften Bearbeiten

Ähnlichkeit ist eine Äquivalenzrelation:

  • Jede Matrix $ {A \in \mathbb{R}^{m\times m}} $ ist zu sich selbst ähnlich.
  • Ist $ {C} $ zu $ {A} $ ähnlich, so ist auch $ {A} $ zu $ {C} $ ähnlich.
  • Ist $ {C} $ zu $ {A} $ ähnlich und ist $ {D} $ zu $ {C} $ ähnlich, so ist auch $ {D} $ zu $ {A} $ ähnlich.

Ist $ {C} $ zu $ {A} $ ähnlich, so gilt für die Matrixpolynome mit beliebigem $ {t \in \mathbb{R}} $

$ {p_C(t) = B^{-1}p_A(t)B} $.

Zusammenfassung Bearbeiten