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  1. Die Ansatzmethode ist ein Verfahren zur Berechnung einer Stammfunktion $ f $ eines Gradientenfeldes $ \vec{v} $.

Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Gradientenfeld Bearbeiten

$ \operatorname{grad}(f) =\begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1} \\ \vdots \\ \frac{\partial f}{\partial x_n} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix}=\vec{v} $
$ \begin{align}f(x_1,\ldots,x_n)&=\int \frac{\partial}{\partial x_1}f(x_1,\ldots,x_n) \operatorname{d}x_1=\int v_1(x_1,\ldots,x_n) \operatorname{d}x_1=f_1(x_1,\ldots,x_n)+c_1(x_2,\ldots,x_n)\\ &\vdots\\ &=\int \frac{\partial}{\partial x_k}f(x_1,\ldots,x_n) \operatorname{d}x_k=\int v_k(x_1,\ldots,x_n) \operatorname{d}x_k =f_k(x_1,\ldots,x_n)+c_k(x_1,\ldots,x_{k-1},x_{k+1},\ldots,x_n)\\ &\vdots\\ &=\int \frac{\partial}{\partial x_n}f(x_1,\ldots,x_n) \operatorname{d}x_n=\int v_n(x_1,\ldots,x_n) \operatorname{d}{x_n}=f_n(x_1,\ldots,x_n)+c_n(x_1,\ldots,x_{n-1})\end{align} $

Algorithmus Bearbeiten

  1. Berechne $ f_1(x_1,\ldots,x_n)+c_1(x_2,\ldots,x_n)=\int v_1(x_1,\ldots,x_n) \operatorname{d}x_1 $
  2. Vergleiche $ \frac{\partial}{\partial x_n}(f_1(x_1,\ldots,x_n)+c_1(x_2,\ldots,x_n)) $ mit $ {v}_2(x_1,\ldots,x_n) $
  3. Löse nach $ \frac{\partial}{\partial x_n}c_{1}(x_2,\ldots,x_n)=v_2(x_1,\ldots,x_n)-\frac{\partial}{\partial x_n}f_{1}(x_1,\ldots,x_n) $