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Wir nennen die symmetrische Matrix $ A \in \mathbb{R}^{n\times n} $ positiv definit, wenn die zugehörige quadratische Form $ q(\vec{x}) = \vec{x}^TA\vec{x} $, für alle $ \vec{x} \neq 0 $ einen positiven Wert annimmt, d.h.

$ \vec{x} \neq 0 \Rightarrow q(\vec{x}) = \vec{x}^TA\vec{x} > 0 $.

Entsprechend heißt die Matrix negativ definit, wenn für $ \vec{x} \neq 0 $ immer $ q(\vec{x}) < 0 $ gilt. Sie heißt ferner positiv semidefinit, wenn $ q(\vec{x}) \geq 0 $, negativ semidefinit, wenn $ q(\vec{x}) \leq 0 $, und indefinit sonst.

Eigenschaften Bearbeiten

Folgende Aussagen sind äquivalent: