FANDOM


Eine Diagonalmatrix $ {A \in \mathbb{R}^{n\times n}} $ mit

$ A = \begin{pmatrix} a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & a_n \end{pmatrix} $

ist eine Matrix, deren Einträge höchstens auf der Hauptdiagonalen ungleich Null sind.

Eigenschaften Bearbeiten

Für das Matrixpolynom gilt:

$ p_A(t) = \begin{pmatrix} p_A(a_1t) & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & p_A(a_2t) & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & p_A(a_nt) \end{pmatrix} $.

Die Eigenwerte sind die Diagonaleinträge: $ {a_1,\ldots,a_n} $.

Die Determinante ist das Produkt über die Diagonaleinträge: $ \det(A)={a_1\cdot\ldots\cdot a_n} $.

Für das Inverse gilt:

$ A^{-1} = \begin{pmatrix} a_1^{-1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2^{-1} & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & a_n^{-1} \end{pmatrix} $

ZusammenfassungBearbeiten

  • $ A = \begin{pmatrix} a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & a_n \end{pmatrix} $
  • $ p_A(t) = \begin{pmatrix} p_A(a_1t) & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & p_A(a_2t) & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & p_A(a_nt) \end{pmatrix} $
  • Eigenwerte: $ {a_1,\ldots,a_n} $
  • Determinante: $ \det(A)={a_1\cdot\ldots\cdot a_n} $
  • $ A^{-1} = \begin{pmatrix} a_1^{-1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2^{-1} & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & a_n^{-1} \end{pmatrix} $