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Zu vorgegebener Matrix $ {A \in \mathbb{R}^{m\times m}} $ und einem Polynom

$ {p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0} $

nennen wir die Funktion $ {p_A : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{m\times m}} $ mit

$ {p_A(t) = a_n(tA)^n + a_{n-1}(tA)^{n-1} + \ldots + a_1(tA) + a_0E} $

das zugehörige Matrixpolynom.

EigenschaftenBearbeiten

Für die Polynommatrix $ {P_A} $ gilt:

$ {P_A = p_A(1)} $

Ist $ {C} $ zu $ {A} $ ähnlich, so gilt für die Matrixpolynome mit beliebigem $ {t \in \mathbb{R}} $

$ {p_C(t) = B^{-1}p_A(t)B} $.

Für das Matrixpolynom einer Diagonalmatrix gilt:

$ p_A(t) = \begin{pmatrix} p_A(a_1t) & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & p_A(a_2t) & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & p_A(a_nt) \end{pmatrix} $

ZusammenfassungBearbeiten

  • $ {p_A(t) = a_n(tA)^n + a_{n-1}(tA)^{n-1} + \ldots + a_1(tA) + a_0E} $
  • $ {P_A = p_A(1)} $
  • $ {p_C(t) = B^{-1}p_A(t)B} $
  • $ p_A(t) = \begin{pmatrix} p_A(a_1t) & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & p_A(a_2t) & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & p_A(a_nt) \end{pmatrix} $